MODEL KURAMI

Model teorisi, matematiksel konseptleri küme kuramı temelinde inceleyen ya da başka bir deyişle matematiksel sistemlerin dayandığı modelleri araştıran matematik dalıdır. Model teorisi, 'dış dünyada' matematiksel nesnelerin var olduğunu varsayar ve nesneler, nesneler arasında bazı işlemler ya da bağıntılar ve bir aksiyomlar kümesi verildiğinde, nelerin nasıl tanıtlanabileceğine ilişkin sorular sorar.

Seçim aksiyomu ve süreklilik hipotezinin küme kuramının diğer aksiyomlarından bağımsız olduğu tespiti model teorisinden doğan en ünlü sonuçlardır (Paul Cohen ve Kurt Gödel tarafından tanıtlanmıştır). Hem seçim aksiyomunun hem de seçim aksiyomu negasyonunun küme kuramının Zermelo-Fraenkel aksiyomlarıyla uyumlu olduğu tanıtlanmıştır. Bu sonuçlar model teorisinin özel bir uygulaması olan Aksiyomatik küme kuramı dalının bölümleridir.

Model teorisinin pratik bir uygulama örneği reel sayılar kuramıyla verilebilir. Her nesnenin bir reel sayı olduğu bir nesneler kümesi ve {×,+,-,.,0,1} gibi bir bağıntılar ve/ya da fonksiyonlar kümesini ele alalım. Bu dilde kuracağımız örneğin "∃ x (x × x = 1 + 1)" önermesinin reel sayılar için doğru olduğu yani belirtilen koşulu sağlan bir x olduğu bellidir; fakat aynı önerme rasyonel sayılar için yanlıştır. Buna karşın "∃ x (x × x = 0 - 1)" önermesi reel sayılar için yanlıştır. Önermeyi doğru yapmak için sabit bir simge i ve yeni bir aksiyom "i × i = 0 - 1" ekleyerek kompleks sayıları tanımlayabiliriz.

Buna göre model teorisi matematiksel sistemler içinde nelerin tanıtlanabilir olduğu ve bu sistemlerin kendi aralarındaki ilişkilerle ilgilenir. Özel olarak model teorisi bir sisteme yeni aksiyomlar ya da yeni dil yapıları eklendiğinde ne gibi sonuçlar ortaya çıktığını araştırır.