MaTeMaTiK DeHaSı - Matematik (Topoloji)

TOPOLOJİ NEDİR?

Topoloji matematiğin bir dalıdır ve sanılabileceği gibi topoğrafyayla eş anlamlı değildir. Topoğrafya bir coğrafi alandaki dağları, ırmakları vs. tarif eder.

Topolojinin ne olup olmadığını anlatmak için verilen tipik örnek saplı bir kahve kupasının dış yüzeyiyle bir simidin dış yüzeyinin bir anlamda aynı olduğudur. Eğer kahve kupası ıslak kilden yapılmış olsaydı, sapına fazla dokunmadan kalan kısmını rahatlıkla eğip büküp ovalayıp düzleştirerek kupanın tümünü bir simit şekline sokabilirdik. Topoloji için önemli olan nokta, karşılaştırdığımız bu iki yüzeyin her ikisinde de sadece bir delik olmasıdır. (Elbette tüm çamuru bir topak haline getirip bu delikten kurtulabiliriz ama bu hareket sürekli olmadığı için topolojik değildir.) Kupanın içine doğru olan derinliğin ya da eğriliğin topolojik olarak hiçbir önemi yoktur.

Tamam da, nasıl oluyor da böyle basit bir çamur oyunu matematiğin bir dalı olmaya hak kazanıyor ? Hikaye, Euler'in 1736'da yazdığı bir makaleyle başlar. Euler bu makalede Königsberg isimli bir şehirdeki yedi köprüyü hepsinden sadece tam bir kez geçmek koşuluyla dolaşmanın mümkün olmadığını göstermiştir. Bu soru aslında topolojik bir sorudur, çünkü örneğin köprülerin büyüklüğünün ya da birbirlerinden uzaklığının sorunun çözümüyle hiçbir ilgisi yoktur; önemli olan köprülerin ve onları birbirine bağlayan yolların şehir içindeki konumudur.

Matematik tarihinde topoloji adına ikinci gelişme yine Euler'e aittir. Bir dışbükey çokyüzlü için Euler 1752'de şu ünlü formülü yayımlamıştır: "köşelerin sayısı - kenarların sayısı + yüzlerin sayısı = 2". (bu formülün sağ tarafı n delikli bir dışbükey çokyüzlü için yanlıştır ve 1813'te İsviçreli matematikçi Lhuilier tarafından sağ taraf 2 - 2n olarak düzeltilmiştir.) Bu formül topolojik bir yapının değişmez bir özelliğinin ilk örneğidir.

Topoloji sözcüğünü ilk kez 1847'de Alman matematikçi Listing kullanmıştır. Listing'in topolojik fikirleri Gauss sayesinde gelişmesine karşın Gauss bu konuda yayın yapmamıştır. Yine 1861'de Listing, yüzeylerin bağlantılı olup olmadığı hakkında yazdığı makalede Möbius şeridinden (Möbius'den dört yıl önce) sözetmiştir. Uzun ince bir şeridin iki ucunu, uçlardan sadece birini 180 derece kıvırıp karşı uca yapıştırarak elde edilen yüzeyin ismi (bkz:Möbiüs Şeridi)'dir. Bu yüzeyin özelliği tek yüzlü olmasıdır ve bu da topolojik bir özelliktir. Günümüzde topolojinin nokta-küme topolojisi, cebirsel topoloji, alçak-boyutlu topoloji, diferansiyel topoloji, geometrik topoloji gibi birçok altdalı çalışılmaktadır. Bu konular birbirlerine yakın olmakla birlikte, problemleri ve teknikleri büyük çeşitlilik gösterebilir. Yukarıda verdiğim örnekler sadece yüzeylerle (iki boyutlu) ilgili olduğu için anlaması kolaydır. Topolojinin esas problemleri üç ve daha büyük boyutlarda ortaya çıkmaktadır. Hatta sonlu boyuttaki bir topoloji problemi bazen sonsuz boyutlu uzayların analizi sayesinde çözülebilmektedir. Örneğin 1982'de Donaldson dört boyutlu Öklid uzayında sonsuz tane değişik diferansiyel yapı olduğunu bu yolla göstermiştir. Bu özelliğin sadece dört boyutlu Öklid uzayında ortaya çıkması ayrıca ilginç.

HOMEOMORFİZMA VEYA TOPOLOJİK İZOMORFİZİM

Bir kahve bardağının simide sürekli deformasyonu

Homeomorfizma veya topolojik izomorfizm matematiksel alanda topolojinin incelediği temel konulardan biridir ve iki uzayın (mesela iki şeklin) parça koparmadan sürekli olarak birbirine dönüşümünü inceler. Kelime Yunanca homoios "benzer" ve morphē "şekil-şeklini bozmak" kelimelerinden türemiştir.
Aralarında homeomorfizma olan iki cisim homeomorfik olarak adlandırılır. Topolojik açıdan bunlar aynıdır. Mesela bir üçgeni bir çembere bir çay bardağını çay tabağına ya da kulplu bardağı simide homeomorf kılabiliriz.
Kabaca topolojik cisim geometrik bir nesne ise homeomorfizma nesnenin yeni şeklini sürekli esneyerek kaplar. Bu suretle bir kare ve çember birbirlerinin homeomorfudurlar fakat bir küre ve ortası delik küre değildirler. Topoljistler arasında saplı bardaklarından kahvelerini içerken ve simitlerini yerken çıkmış bir espri olarak simidin kahve fincanı şekline esneyip onu kaplayarak dönüşmesini kahve fincanının sapını tutarken açıklayamadıklarını söylerler.
İki şekil üzerinde homeomorfizmayı şu şekilde açıklayabiliriz: A şeklinden B şekline yırtmadan parça koparmadan geçebilmek için A'dan B'ye sürekli fonksiyona ihtiyaç vardır. Ve aynı şekilde B'den A'ya geçmemiz gerekmektedir. Bunun için de fonksiyonumuz tersinir olmalı ve tersi de sürekli olmalıdır.
Kısaca "f: A->B bir homeomorfizma ise f süreklidir tersi vardır ve tersi de süreklidir" diyebiliriz.

KLEİN ŞİŞESİ

Klein şişesi, artistik bir biblo olmanın ötesinde ciddi bir matematiksel değer taşıyan 'topolojik' bir nesne. Topoloji, geometrik şekillerin biçimleri ve boyutlarından çok, birbirleriyle ilişkileri, bükme, germe, gibi şekil deformasyonlarından sonra da taşıdığı değişmez özellikleriyle ilgilenen matematik dalı. Söz gelimi, kare biçiminde kesilen bir yüzey yırtmadan, delmeden ve yapıştırmadan büküldüğü, esnetilip uzatıldığı, ortası şişirildiğinde bile, topolojik anlamda değişmez olan özelliklerini korumaktadır.

Klein şisesi de, Moebius şeridinin tuhaf özelliklerini taşıyan, tam anlamıyla 3 boyutlu bir geometrik nesne. Çoğu şişenin bir iç bir de dış kısmı tanımlanabilirken, Klein şişesinin tek bir yüzü var; yani içi-dışı yönleri biraz tartışmalı. Bu tuhaf şişenin hilesi, yüzeyinin kendisiyle kesişiyor oluşu. Kesişim büyüyü biraz bozuyorsa da, 3 boyutlu bir cisimde önlenemeyen, ancak 4 boyutta tanımlandığında çözülebilen bir süreksizlik problemi bu. Klein şişesinin, kendi gövdesini delip 'içine' giren, oradan da 'dibine' açılan bir boynu var.

Klein şişesi nedir ne değildir?
* Matematikçi KLEİN tarafından keşfedilmiş, dışı olan, fakat içi olmayan bir şişedir.
* Kendisinin içinden geçer. İçine su konulmaya çalışılırsa, dökülen su aynı delikten dışarı çıkar.
* Klein Şişesi bir sürahi olarak kullanılamaz.

Klein şişesi ile Möbiüs şeridi arasındaki bağıntı
* İkiside tek yüzeylidir.
* Klein Şişesi, boylamasına ikiye kesilirse; iki adet Möbiüs Şeridi elde edilir.