MaTeMaTiK DeHaSı - Matematik (Lineer Cebir)

LİNEER CEBİR

Matematiğin yöneyler (vektör) yöney uzayları doğrusal dönüşümler doğrusal denklem takımları ve dizeyleri (matris) inceleyen alanıdır. Yöney uzayları modern matematiğin merkezinde yer alan bir konudur. Bundan dolayı doğrusal cebir hem soyut cebirde hem de fonksiyonel analizde sıkça kullanılır. Doğrusal cebir analitik geometri ile de alakalı olup sosyal bilimlerde ve fen bilimlerinde yaygın bir uygulama alanına sahiptir.

Modern doğrusal cebirin geçmişi 1843 ve 1844 yıllarına dayanır. 1843'te William Rowen Hamilton Kuaterniyonları keşfetti. 1844'te Hermann Grassmann Die lineale Ausdehnungslehre adlı kitabını yayınladı. Arthur Cayley doğrusal cebirin en temel fikirlerinden birisi olan dizeyleri 1857 yılında tanıttı. Ne var ki doğrusal cebir asıl büyük atılımlarını 20. yüzyılda yapmıştır.

Temelleri
Doğrusal Cebir'in temelleri yöneylerin incelenmesinde yatar. Burda sözü edilen yöney yönü büyüklüğü ve doğrultusu olan bir doğru parçasıdır. Vektörler kuvvet gibi fiziksel birimlerin ifade edilmesinde kullanılabilir. Birbirlerine eklenebildikleri gibi sabit bir skalerle de çarpılabilirler. Böylece basit bir reel yöney uzayının oluşumu gösterilebilir.
Modern Doğrusal Cebir 2 ve 3 boyut sınırlamasını kaldırarak isteğe bağlı veya sonsuz boyutlu uzaylarda işleyebilecek şekilde genişletilmiştir. 2 ve 3 boyutlu uzaylardaki sonuçların büyük bir kısmı n-boyutlu uzaylarda da geçerlidir. N boyutlu bir uzayın görselleştirilmesi zor gibi görünse de aslında bu tür uzaylar temel bilimlerde ve günlük hayatta sık kullanılır. Örneğin 8 ülkenin ulusal gelirini listelediğimiz zaman bu liste 8 boyutlu bir vektörü ifade eder. Bu vektördeki herbir elemanın bir ülkenin ulusal gelirini temsil ettiğini söyleyebiliriz.
Matematikte soruna doğrusal bir açıdan bakıp dizey cebiriyle ifade ettikten sonra onu dizey işlemleriyle çözmek matematikte sık kullanılan uygulamalardan birisidir. Örneğin doğrusal denklem dizgeleri (sistem) matris yardımıyla ifade edilip çözülerek denklemin kökleri elde edilebilir.

Yöneyler ve Dizeyler

Aşağıda üç boyutlu bir sütun yöneyi görülmektedir:

Burada ise 4 boyutlu bir satır yöneyini görmekteyiz:

Son olarak 4 satır ve üç sutundan oluşan bir dizey örneğini şöyle gösterebiliriz:

-------------------------------

HALKA

Halka, matematiğin temel yapılarından biridir ve soyut cebirde tam sayıların soyutlamasıdır. Bu yapıyı işleyen dala halka kuramı denir. Halkalara örnek olarak polinomlar, modülo n ya da karmaşık sayılar verilebilir.
Halka her şeyden önce bir kümedir ve belli özellikleri sağlar. Bu özellikler aşağıda verilmiştir.

Tanım

R boştan farklı bir küme olsun. Bu küme üzerinde "+" ve "" ikili işlemleri tanımlı olsun. Eğer;

* (R,+) kümesi değişmeli bir öbek,
* (R, ) kümesi bir yarı öbek ve
* "." işlemi "+" işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılmalı
ise (R,+, ) kümesine halka denir. Bunların yanında eğer,

* (R, ) kümesi bir birlik ise (R,+, ) kümesine birimli halka; ayrıca,
* (R, ) kümesi değişmeli ise (R,+, ) kümesine değişmeli halka denir.
Bir halkanın birinci işlemi olan (genellikle toplama) "+" işleminin birim öğesine sıfır denir ve 0 ile gösterilmesi gelenektir. Halkanın ikinci işlemi olan (genellikle çarpma) "" işleminin birim öğesi varsa bu birim öğeye bir denir ve geleneksel olarak 1 ile gösterilir.

Ayrıca bir halkada genellikle 0=1 olmadığı da bir belit olarak eklenir. Nitekim 1=0 olması bir çelişki yaratmaz ancak, 1=0 olduğunda R halkası tek öğeli bir küme olur. Bunu aşağıdaki gibi basitçe her sayının sıfıra eşit olduğunu göstererek kanıtlayabiliriz:

a = a.1 = a.0 = 0
Halkanın tam tanımı için bir uzlaşma görülmüyor. Bazı matematikçiler (örneğin Ali Nesin) bir halkanın hem birimli hem bileşmeli hem de değişmeli olduğunu varsayar[1]. Eğer birim öğesiz veya değişme özelliği olmayan bir halkadan bahsedilecekse birimsiz halka ya da değişmesiz halka denmiş olur. Bourbaki ya da Herstein gibi matematikçiler de birim öğesi olmayan halkalara yalancı halka demeyi tercih eder. Bu sayfada bahsedilen halkalar hem değişmeli hem bileşmeli hem de birim öğeli alınacaktır.